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《南开大学》 2014年
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容许本原群的半对称图

韩华  
【摘要】:分类或刻画具有各种传递性质(例如点传递、边传递、弧传递等)的图是代数图论中一个非常重要且活跃的研究课题。在本文中我们主要研究边传递图,特别是半对称图即边传递但不是点传递的正则图。1967年,Folkman引入并研究了半对称图,同时他提出了关于半对称图的八个公开问题。Folkman的问题引起了研究人员的极大兴趣,从而开始了对这类图的广泛研究。在过去的几十年里,人们在半对称图方面取得了一些重要结果,主要涉及限定条件下的分类问题、点稳定子的结构以及个例或无限族的构造等。 本文的主要目标是分类具有某些限定条件的半对称图,发现新的半对称图。当然,无论是半对称图的分类还是构造新的半对称图,一个无法回避的核心问题就是判定一个边传递图的自同构群是否在其点集上传递。这个问题关联到本文的主要工作,因此从某种程度上讲本文的主要任务之一就是在一定限制条件下解决上述问题。 本文分为六章。第一章概述了半对称图的研究背景以及本文所取得的主要结果。为了方便,我们在第二章罗列了某些与本文密切相关的概念、术语、符号和必要的群论结果。第三、四、五、六章是本文的主体部分。 在第三章中我们分析了容许拟本原置换群的边传递二部图。令Г是一个G-半对称图且Г不是完全二部图,其中G是图Г自同构群AutΓ的子群。注意到Г是一个二部图,设U和W是其两部分。假设G在U上诱导一个拟本原置换群。通过观察可知群G在W上的作用是忠实的。如果G在Г的两部分上的作用都是忠实的,那么Г同构于群G的一个双陪集图,于是通过分析某点的稳定子在另外一部上的轨道即可得到所有可能的图Г,进而利用群论方法或某些组合技巧去判定图的点传递性。这是我们在后续章节工作中所用的主要思想方法之一。特别当G限制在U上是仿射本原群时,我们证明了Г是半对称图当且仅当soc(G)在W上的作用不传递。利用这个结果我们给出了由仿射本原群构造半对称图的方法,从而发现并证明了多类半对称图。此外这种构造方法导致了一个有趣的事实,我们发现某些完全二部图可以分拆成若干半对称图的边不交并。另外一种情形是G在W上忠实但在U上不忠实。对于这种情形,我们证明了当G在U上作用本原时Г一定是半对称图。此结果导致了另一个由本原置换群构造半对称图的方法,特别是我们发现可以用边本原图的刨分来构造半对称图。上述分析及结果为我们接下来的分类工作及构造新的半对称图提供了非常有效的理论工具和方法。 关于半对称图的分类问题,可行的办法之一就是限定图的阶或度数。我们的一个目标是分类或刻画2pqr旷阶的半对称图。本文第四、五、六章中的工作为我们将来的工作奠定了很好的基础。发现新的半对称图是研究者们非常感兴趣的一个问题。利用第三章的结果及思路,我们在第四章构造了大量新的半对称图。在第五章中我们首先分类了pqr次的本原置换群,其中p,q和r是素数(可以相同)。随后,基于第三章的方法和结果,我们分类了容许pqr次本原置换群的半对称图,这样的图包含了9个无限族及若干零散的图例。利用第五章的部分结果,结合商图技巧,在第六章中我们详细研究了18p阶的局部本原图,证明了这样的图要么是点传递的,从而是弧传递的,要么同构于Gray图和Tutte12-笼之一。
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2014
【分类号】:O157.5

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