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《南开大学》 2014年
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Kazhdan-Lusztig R-多项式的组合性质研究

钟欣欣  
【摘要】:Kazhdan-Lusztig理论是1979年由D. Kazhdan和G. Lusztig在研究Cox-eter群与Hecke代数的表示时创建。它已在表示论、代数几何和组合学等数学分支中得到了广泛的应用。Kazhdan-Lusztig R-多项式与Hecke代数的乘法结构有密切的联系,是Kazhdan-Lusztig理论中的重要研究对象。 本文主要研究了R-多项式的组合性质。主要结果包括以下两个方面:一方面,我们给出了R-多项式反演公式的组合证明。该问题是由著名组合学家F. Brenti在1998年提出。作为应用,我们得到了Bruhat序下的Mobius函数公式的组合证明;另一方面,我们研究了对称群上一类特殊的R-多项式,建立了该类R-多项式与q-Fibonacci数之间的联系。 本文共分为四章。在第一章,我们回顾了Coxeter群的一些基本性质和Kazhdan-Lusztig理论的整体背景,并介绍了本文的主要成果。 在第二章,我们给出了R-多项式反演公式的组合证明,解决了F.Brenti在1998年提出的问题。该证明利用了M. Dyer给出的关于R-多项式的组合解释。Dyer将R-多项式凡,。(q)解释成从u到v在给定反射序下递增的Bruhat路的生成函数。由于反射序的倒序依然是反射序,我们定义了V形路并以此给出了反演公式的组合解释。所谓从u到v以w为底的V形路,是指从u到v经过w的Bruhat路,并使得其中u到w段边上标记的反射按反射序递减,w到v段边上的反射按反射序递增。最后,反演公式通过在V形路上建立对合Φ得以证明。 在本章中,我们还给出了对合Φ的两个应用。首先,我们将对合Φ限制在极长的V形路上,得到Bruhat区间上的对合。利用这一对合我们给出了D.-N. Verma在1971年得到的Bruhat序下Mobius函数公式的组合证明。其次,我们利用对合垂的一个变形形式给出了反演公式在对称群中的一个细化。 在第三章,我们给出了Coxeter群的抛物商上的Bruhat序下Mobius函数一般公式的组合证明。这个公式是由V. Deodhar在1977年首先得到。在随后的几十年里,Deodhar公式得到广泛关注,其中A.Bjorner、M. Wachs和J. Stembridge分别用拓扑和代数的方法给出了该公式新的证明。本章利用Bjorner和Wachs对极长的Bruhat路的标记方法,给出了Deodhar公式第一个组合证明。 在第四章,我们建立了对称群上的一类R-多项式与q-Fibonacci数之间的联系。具体来讲,当vn取对称群Sn中的排列34…n12时,我们计算得出,R-多项式Ru,vn(q)经过一个简单的变量代换就变成Fibonacci数的q-模拟。特别地,取u为单位元e时,我们就得到Pagliacci给出的Re,vn(q)的公式。此外,当un,i取排列34…in(i+1)…(n-1)12时,我们用q-Fibonacci数给出了Re,vn,i(q)的一个显式表达式。这个结果也是对Pagliacci公式的扩展。
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2014
【分类号】:O174.14

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