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《南开大学》 2014年
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格点动力系统的周期解

孙吉江  
【摘要】:在本文中,我们主要关心的是如何得到广义Fermi-Pasta-Ulam缩写为FPU)型格点动力系统的具有有限能量的非平凡时间周期解的存在性和多重性.我们采用变分的工具.近期,在我们的论文[48]里,给出位势在无穷远处更一般的超二次增长假设,通过我们的方法重现并且改进了已知的结果[7].值得一提的是,在我们工作[48]中,最有趣的结果是关于多重性那部分,也就是通过把由Bartsch和Ding[12]发展的用来处理强不定泛函的解的多重性的抽象临界点定理推广到更一般的对称类情形的办法(由于我们的泛函在群Z和S1作用下不变的,从某种意义上说我们把相当强的非退化假设弱化为退化情形)得到无穷多个结构不同的解.在我们最近的工作[49]中,我们研究了带有超二次位势的强不定格点系统的基态周期解的存在性.在[50]中,我们考虑了带有渐近二次位势的正定和强不定情形的格点系统的时间周期解的存在性问题,在论文[51]中,通过Morse理论,我们得到了共振型渐近线性格动力系统的非平凡周期解.据我们所知,还没有任何关于处理这些渐近二次增长情形的已知结果. 我们简单回顾一下本文的写作格局.在第一章,我们介绍一下关于格动力系统的研究背景以及最新研究成果和进展.在第二章,我们假设位势Φi在无穷远处是超二次增长的.对于所有的正数T,我们得到了一个非零的具有有限能量的T周期解,并且它在某个周期范围内是非常值的.如果我们进一步假设Φi(x)关于x是偶的,对于所有的正数T,我们还能得到无穷多个结构不同的T周期解.特别的,在某些周期范围内,我们得到了给定个数的结构不同的非常值的周期解.在第三章,我们在更一般的超二次假设条件下,对T0,我们得到了基态T周期解,并且能够证明它在某些周期范围内是非常值的.在第四章,我们给出文献[38]中关于渐近二次位势情形的公开问题2.7的一个正面的回答.假设位势Φi(x)=-αi/2x2+Vi(x)在无穷远处是渐近二次增长的,也就是说当|x|→∞时,Φi(x)趋向于一个二次函数.而且我们假设对所有的i,系数αi不等于0.利用没有紧性条件的山路定理以及Bartsch和Ding[12]的一个处理强不定泛函解的存在性问题的抽象临界点定理,对所有的T0,我们得到了一个非零的具有有限能量的T周期解.最后,在第五章里面,我们考虑非自治格动力系统.假设对于某个T0,位势Φi(t,x)=-(αi/2)|x|2+Vi(t,x)关于t是T周期的,并且对于某个N∈N,Φi(t,x)满足Φi+N=Φi.进一步假设对于某个i,αi=0,在一些附加条件下这蕴含着这个系统在原点和无穷远处均是共振的.利用一些最新的关于临界群精确计算的结果,对于一个给定的m∈Z,我们得到了,对所有t∈R和i∈Z,满足qi+mN(t+T)=qi(t)的非平凡周期解q的存在结果.
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2014
【分类号】:O175

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