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《南开大学》 2014年
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分拆钩和秩的组合研究

樊如冰  
【摘要】:整数分拆理论是组合数学中的一个重要研究方向,它在群论、概率论、数理统计及粒子物理等方面都有重要的应用。分拆统计量是分拆理论的一项重要研究课题,特别是统计量“钩”和“秩”。分拆统计量“钩”得到了包括俄罗斯数学家A. Okounkov(2006年菲尔兹奖得主)在内的众多著名数学家的关注。最近几十年,它在代数组合学与群表示理论中被广泛地应用与讨论,众多钩长公式应运而生。分拆秩最早是由著名物理学家F. Dyson提出,由G.E.Andrews和F. Gar van发现,用于组合解释著名的Ramanujan分拆同余式。 本文主要通过构造变换和对合等组合方法研究了与钩长和Andrews-Garvan-Dyson秩有关的分拆函数。我们首先计算了权重为n的分拆所含有的κ-hook的个数的最大值b(n,k),并给出了它的生成函数。接下来,我们用组合方法得到了权重为n且Andre ws-G arvan-Dyson秩不大于给定非负整数t的分拆函数M(≤t;n)的生成函数。最后利用m阶子分拆的概念我们给出了M(≤t;n)的一个新的组合解释。 本文共分为三章。第一章介绍了分拆理论的基本概念,整数分拆的图形表示和生成函数,其中整数分拆的图形表示和生成函数是我们在处理整数分拆问题时的重要工具。 在第二章中,我们主要研究了与钩长有关的一类分拆函数。令αk(λ)表示λ具有的长为k的钩的个数,b(n,k)表示在n的所有分拆λ中αk(λ)的最大值。Pak和Han分别研究了α1(λ)和αk(λ)。Pak给出了α1(λ)的生成函数。Han得到了一个关于ak(λ)的钩长公式。Amdeberhan提出了关于b(n,1)的生成函数的猜想,我们用组合方法证明了该猜想。更进一步的,通过定义近似k阶三角分拆(nearly κ-triangular partition)和分拆上的两个新算子,我们推广了上述猜想,即对于任意的正整数k,我们给出了b(n,k)的计数公式及其生成函数。 在第三章中,我们得到了权重为nn且Andrews-Garvan-Dyson秩不大于给定非负整数t的分拆函数M(≤t;n)的生成函数。1989年,Dyson定义了秩集(rank-set),并令q(t;n)表示权重为n且秩集包含t的分拆的个数。Dyson发现M(≤t;n)=q(t;n),并利用代数方法给出了它们的生成函数。我们通过构造整数分拆上的对合,直接得到了q(t;n)的生成函数,亦M(≤t;n)的生成函数。通过构造类似的对合,我们同时证明了Andrews在2007年给出的一个关于部分theta函数的恒等式。最后,基于Kim提出的间隙为1的子分拆,我们引入了一个新的组合结构—m阶子分拆。利用该组合结构,我们给出了M≤t;n)的一个新的组合解释,即M(≤t;n)计数了权重为n且具有偶数长度的t阶子分拆的分拆个数。
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2014
【分类号】:O157

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