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《哈尔滨工业大学》 2018年
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两类反应扩散方程组的定性分析

倪文杰  
【摘要】:物种之间的竞争和捕食对生态系统的动态平衡、生物多样性和协同进化都起着重要的作用,吸引了众多生物学家和数学家的兴趣.为探索物种进化的生物法则,人们建立了许多数学模型,如:Lotka-Volterra竞争模型和捕食模型[1,2],Holling型捕食模型,Leslie-Gower捕食模型等.随着对种群关系的深入了解,更加完善和合理的数学模型被用来描述不同环境下的生物系统.本文研究不同背景下的反应扩散竞争模型和捕食模型的定性性质.首先,介绍问题的研究背景和研究现状,以及本文的主要研究内容.第二部分,研究一个特殊的反应扩散竞争模型:两种群的内在增长率、种群内部的竞争系数和种群之间的竞争系数都是1.直线段{(u,v):u,v0,u+v=1}上的点都是它的正平衡解,且对任任何一个这样的平衡解,都有一些初始值使得对应的解收敛到这个平衡解.因而,研究其解的长时间性质是非常有趣的.利用能量方法和迭代技巧,分别证明两个扩散系数较大或者扩散系数相同时解收敛到某一个平衡解;当扩散系数相同时,对一些初始值,还确定解的收敛极限.第三部分,研究带有非局部作用关系的两种群反应扩散竞争模型正常数平衡解的全局渐近稳定性和非常数正平衡解的存在性,重点探讨非局部作用关系对于动力学性质的影响.这类问题可以转化为抛物与椭圆耦合的方程组.如果没有种群内部的非局部竞争或者种群内部的非局部竞争较弱时,运用Lyapunov泛函方法得到与经典的Lotka-Volterra竞争模型类似的全局渐近稳定性结论.而当种群内部的非局部竞争较大时,正常数平衡解不稳定,利用拓扑度理论给出非常数正平衡解的存在性.这说明种群内部的非局部竞争会改变经典的Lotka-Volterra竞争模型的动力学性质.第四部分,探讨非均匀环境中多物种竞争的反应扩散模型的动力学性质.对于两个物种竞争的情况,首先利用Lyapunov泛函方法证明正平衡解的全局渐近稳定性;其次,利用单调动力系统理论证明正平衡解的存在性和全局渐近稳定性.对于三个以上物种竞争的情况,首先给出矩阵运算的一些结论,再利用上下解方法证明正平衡解和半平凡平衡解的存在性,利用Lyapunov泛函方法证明正平衡解和半平凡平衡解的全局渐近稳定性.最后,考察食饵带有强Allee效应的Leslie-Gower捕食模型的动力学性质.在没有捕食者v的情况下,强Allee效应导致食饵u的初始密度小于一个阈值时,有lim t→0u=0,即u=0是局部稳定的.但是,捕食者v的方程里面有一个“坏项”v/u,当u很小时,这一项可能无界.这给研究带来了较大困难.此外,系统有一个奇点(0,0)和一个或两个正常数平衡解,且会出现双稳情况:(0,0)和其中一个正平衡解都是局部稳定的.利用上下解方法,证明解的全局存在性和有界性;通过研究v/u的性质,讨论解的长时间行为;利用拓扑度理论,证明存在非常数正平衡解.因为强Allee效应的影响,所以本文关心(0,0)的吸引域范围.特别地,对于相应的常微分方程组,有更好的结论:如果系统没有正平衡点,则(0,0)是全局渐近稳定的;如果系统仅有一个正平衡点,给出这个正平衡点的一个吸引域范围.
【学位授予单位】:哈尔滨工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O175

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