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《广州大学》 2012年
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函数空间上的Toeplitz算子

夏锦  
【摘要】:函数空间上的Toeplitz算子理论是泛函分析算子理论中一个重要的分支Toeplitz算子与数学、物理的许多分支,如函数论,算子理论,控制论,量子力学,概率论,偏微分方程,调和分析,计算数学均有密切联系.对Toeplitz算子性质的研究已经形成了现代数学的一个主流的研究方向并取得了丰硕的成果,有了一套比较完整的理论体系. 人们研究函数空间上Toeplitz算子的兴趣主要集中在有界性、紧性、Fredholm性质、代数性质、谱性质、本质范数、不变子空间问题等方面.自从1911年Toeplitz开始了对Toeplitz矩阵的研究以来,人们逐渐将其发展为函数空间上的算子理论,比如Hardy空间,Bergman空间与Dirichlet空间上的Toeplitz算子理论,得到了很多重要结果.有很多数学家在这方面作出了重要贡献,如,Szego, Hartman, Wintner, R.G.Douglas, A.Bottcher, H. Upmeier, K.H.Zhu, S. Axler, D.C.Zheng, G.F.Cao. 单位圆盘的Dirichlet空间及高维复空间的函数空间上的Toeplitz算子,其研究才刚刚兴起,由于这些空间上的Toepliz算子性质与经典的情形有很多不同之处,因此有关它们的结论极大地丰富了Toeplitz算子理论,促进了Toeplitz算子研究的发展. 本文主要研究了Cn单位球的Dirichlet空间,多重调和Bergman空间上Toeplitz算子的Schatten-p类性质.刻画了单位圆盘的Dirichlet空间上的Toeplitz算子的有界性,紧性,Fredholm'性质,利用Berezin型变换讨论了Toeplitz算子的紧性及不变子空间问题,可逆问题.论文主要分为以下几个部分: 第一章主要介绍Toeplitz算子的研究概况,以及本文的主要工作与内容.第二章构造了Cn单位球的Dirichlet空间上一类具有无界符号函数的Schatten-p类(0p∞)Toeplitz算子.第三章构造了Cn单位球的多重调和Bergman空间上一类具有无界符号函数的Schatten-p类(0p∞)Toeplitz算子.第四章研究了单位圆盘上的Dirichlet空间Dp(1p∞)上Toeplitz算子的有界性,紧性,Fredholm性质,计算了Fredholm指标.第五章研究了单位圆盘上的Dirichlet空间D1上Toeplitz算子的有界性,紧性,Fredholm性质,计算了Fredholm指标.第六章研究了单位圆盘上的Dirichlet空间D上Toeplitz算子的紧性与其Berezin型变换的关系.第七章利用Toeplitz算子的Berezin型变换,研究了单位圆盘上的Dirichlet空间D上Toeplitz算子的不变子空间问题,可逆问题.
【学位授予单位】:广州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O177

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